偏微分方程化标准型
在书P113页，当$\Delta>0$时，偏微分方程为双曲线型，其标准型为：
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}=-\frac{1}{2b}(d\frac{\partial u}{\partial \xi}+e\frac{\partial u}{\partial \eta}+{fu}-g)
\end{equation}
利用变换：$\xi=\mu+\nu,\eta=\mu=\nu$，可得：
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial^2 \mu} - \frac{\partial^2 u}{\partial^2 \nu} =-\frac{1}{b}\left((d+e)\frac{\partial u}{\partial \mu}+(d-e)\frac{\partial u}{\partial \nu} +{fu}-g \right)
\end{equation}
这是一个基本的变换运算，首先得$\mu=\frac{1}{2}(\xi+\eta),\nu=\frac{1}{2}(\xi-\eta)$
用到链式法则：
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial u}{\partial \xi}&=\frac{\partial u}{\partial \mu}\frac{\partial \mu}{\partial \xi}+\frac{\partial u}{\partial \nu}\frac{\partial \nu}{\partial \xi}, \
\frac{\partial u}{\partial \eta}&=\frac{\partial u}{\partial \mu}\frac{\partial \mu}{\partial \eta}+\frac{\partial u}{\partial \nu}\frac{\partial \nu}{\partial \eta}
\end{split}
\end{equation}
得到:
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial u}{\partial \xi}&=\frac{\partial u}{\partial \mu}\frac{1}{2}+\frac{\partial u}{\partial \nu}\frac{1}{2}, \
\frac{\partial u}{\partial \eta}&=\frac{\partial u}{\partial \mu}\frac{1}{2}-\frac{\partial u}{\partial \nu}\frac{1}{2}
\end{split}
\end{equation}
然后：
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial^2 \mu}\frac{\partial \mu}{\partial \eta}+\frac{\partial^2 u}{\partial \mu \partial \nu} \frac{\partial \nu}{\partial \eta}+\frac{\partial^2 u}{\partial^2 \nu}\frac{\partial \nu}{\partial \eta}+\frac{\partial^2 u}{\partial \nu \partial \mu}\frac{\partial \mu}{\partial \eta}\right)
\end{equation}
得到：
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} =\frac{1}{4}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial^2 \mu}-\frac{\partial^2 u}{\partial^2 \nu}\right)
\end{equation}
整理后即可得经典的波动方程形式，也是标准型的另一种表达形式：
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial^2 \mu}-\frac{\partial^2 u}{\partial^2 \nu}=-\frac{1}{b}\left((d+e)\frac{\partial u}{\partial \mu}+(d-e)\frac{\partial u}{\partial \nu}+2fu-2g\right)
\end{equation}
此处有双曲线型的两个表达形式，最初可能有点迷惑，其实二者是一样的本质。例如书中P119页例（2）化波动方程为标准型：
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}
\end{equation}
通过特征方程，得到特征曲线$\xi=x+at,\eta=x-at$，然后代入公式即可得:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}=0
\end{equation}
偏微分方程为什么要化为标准型
初学者自然有这个疑问，就算看了许多书，可能这个疑问也不完全消失。时间久了，慢慢有一点领悟。
书中说之所以化标准型，是为了分类，偏微分方程有三种类型，双曲线、抛物线和椭圆型，不同类型的偏微分方程有不同的解法，分类便于研究共性。
但是看波动方程的常见形式：
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}
\end{equation}
上面的波动方程有时间和空间项，各个参数有明显的物理意义，但是它不是标准型，化标准型的步骤是：
（10）的特征方程为：
\begin{equation}
(dx/dt)^2-0-a^2=0
\end{equation}
解为：
\begin{equation}
x=\pm{at}+c
\end{equation}
特征线为：
\begin{equation}
\xi=x+at, \eta=x-at
\end{equation}
代入（10），利用链式法则，它的标准型为：
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta}=0
\end{equation}
那么这样做有什么缘由吗？除了标准型的书面回答。答案可能还有一个，就是方便计算偏微分方程的通解。
在书中P279，解一维波动方程（10）中，先化为标准型，然后首先对（14）做一次$\eta$的积分：
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial \xi}=C_1
\end{equation}
$C_1$是积分常数，不含$\eta$，但是必须含$\xi$，否则两个积分曲线相关。于是：
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial \xi}=f(\xi)
\end{equation}
再对$\xi$积分：
\begin{equation}
u(\xi,\eta)=\int_{}^{} f(\xi)\ d\xi+C_2
\end{equation}
$C_2$含$\eta$，但不含$\xi$。
所以标准型（14）方程的解为：
\begin{equation}
u(\xi,\eta)=f_1(\xi)+f_2(\eta)
\end{equation}
等同于：
\begin{equation}
u(x,t)=f_1(x+at)+f_2(x-at)
\end{equation}
这样就通过标准型的两次积分得到了方程的通解，如果从波动方程（10）积分，则比较困难。
分离变量方法中一个小疑问？
在泛定方程为非齐次热传导方程的分离变量法中，解$T$方程的时候，通常是一阶常微分方程：
\begin{equation}
T^{‘}+\lambda{T}=f(t)
\end{equation}
$t>0$无边界。
这个方程可以使用高数中的知识快速的计算出来，其解为：
\begin{equation}
T=e^{-\int{\lambda dt}}\left(\int{f(t)e^{\int{\lambda dt}}dt+C} \right)
\end{equation}
然而，书中的非齐次解法（归到本征函数法）却采用别的方法，例如采用Laplace变换法：
\begin{equation}
pG(p)-C_n+\lambda{G(p)}-F(p)=0
\end{equation}
\begin{equation}
C_n=G(0)
\end{equation}
这里考虑了初值$C_n$(具体用傅里叶级数表示)，赋予了$G(0)$。
利用拉普拉斯变换、卷积定理可以得到：
\begin{equation}
T=C_n{e^{-\int{\lambda dt}}}+ \left(\int_0^{t}{f(\eta)e^{\int{-\lambda(t-\eta) d\eta}}dt+C} \right)
\end{equation}
到这里函数$T(t)$已近得到。在本征函数法中再带入原一般解：
\begin{equation}
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty{T_n(t)sin\sqrt{\lambda}x}
\end{equation}
就得到了最终方程的解。
注意到，这里没有再根据初值，计算方程$g$的系数$C_n$,因为初值在拉普拉斯变换的过程用到了。
因此我们看到，本征函数发解非齐次偏微分方程时，用拉普拉斯变换解一阶常微分方程的不同之处了，同时还有原因。如果仍旧采用高数中的方法，那么对于$t=0$的初值问题，不好解决（注意方程21中，积分中含有$f(t)$）。
但是对于其次方程，一阶常微分的解中有$f(t)=0$，所以初值非常容易得到，故可以直接用高数中的公式计算。所以说到底，是考虑初值条件导致解法不同。
但是，对于一些$f(t)$一直且容易计算的方程，使用高数的公式或者拉普拉斯变换的结果是一样的，重要的区别点在于常系数的计算。
拉普拉斯变换对于初值问题计算较为方便，不用真正的计算积分。
环形laplace的解
题：
$$\frac{\partial^2u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial u^2}{\partial r^2} = 0$$
$$ 1<r<2;0<\theta<\pi $$
$$ u(1,\theta) = sin(\theta), u(2,\theta)=0 $$
$$ u(r,0) = u(r,\pi)=0 $$
解：
使用分离变量法
\begin{equation}
u=R\Theta
\end{equation}
代入原泛定方程，展开可得：
$$r^2R^{‘’}+rR^{‘} -\lambda R=0 $$
$$\Theta^{‘’}+\lambda{\Theta}=0 $$
$$\Theta(0)=0,\Theta(\pi)=0$$
易解：
\begin{equation}
\Theta=C_{1}cos{k\theta}+C_{2}sin{k\theta}
\end{equation}
考虑角度条件，可得
$$C_{1}=0,k=n,\lambda=n^2$$
$$\Theta=C_{2}sin{n\theta},n>0$$
$\lambda$带入$R$的函数：
\begin{equation}
r^2R^{‘’}+rR^{‘} -n^2 R=0
\end{equation}
解欧拉方程可得：
$$R=A_{n}r^n+B_{n}r^{-n}$$
故：
$$U=\sum_{n=1}^{\infty} (D_{n}r^n+E_{n}r^{-n})sin(n\pi)$$
考虑径向条件：
$$D_{n}2^n+E_{n}2^{-n}=0$$
得:
$$D_{n}=-E_{n}4^{-n}$$
进一步：
\begin{equation}
U=\sum_{n=1}^{\infty} (-E_{n}4^{-n}+E_{n})sin(n\theta)=sin(\theta)
\end{equation}
故：
$$E_{n}=\frac{1}{1-4^{-n}}\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} sin(\theta)sin(n\theta)d\theta$$
现在已经得到可解的系数，回代即可。
参考：
数学物理方法，科学出版社，顾樵 著
https://math.stackexchange.com/questions/3119397/laplace-equation-in-a-ring-variable-separation
https://math.stackexchange.com/questions/2533143/solve-the-laplace-equation-on-an-annular-region?rq=1
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