在生活中，我们时常被大自然的神秘现象所震撼，如旋风般的湍流、风暴中的雷电、星空下的北极光。这些看似复杂的天然奇观，其背后真的只是无法解释的魔法吗？读者们，有没有想过为什么，有时，这些复杂得超乎想象的现象，却能够通过简单的理论或方法得以解释？
例如，湍流，这一连续介质力学中最为棘手的问题，尽管在研究中屡遭困境，但也有时候能够通过数学和物理的神奇魅力被探究其深层原理。这里，我们即将使用一种源于上个世纪初、既经典又简单的方法—量纲分析，来为各位揭示湍流背后的神奇秘密。正是这种将复杂事物回归简单的探索精神，使得我们对自然界的理解越来越深入，科技与自然的关系也因此变得更加和谐。
让我们一起走进Kolmogorov的 $-5/3$定律的神奇世界。
量纲分析：开始的第一步
首先，我们需要明确涉及的物理量及其量纲：
- 能量传递速率 $( \varepsilon)$:
- $ [\varepsilon] = L^2T^{-3} $
- 波数 $( k )$:
- $ [k] = L^{-1} $
- 能量光谱 $( E(k) )$:
- $ [E(k)] = L^3T^{-2} $
记住，量纲分析的魅力在于其简洁和普遍性。使用Buckingham’s $( \pi )$ 定理，我们可以将这些物理量联系起来。
Buckingham’s $( \pi )$ 定理
我们有三个物理量: $( \varepsilon, k, E(k) )$ 和两个基本量纲：$( L, T )$。
我们的目标是找到一个无量纲组合：
$$ \Pi = \varepsilon^a k^b E(k)^c $$
通过量纲关系，我们得到：
$$ L^{2a-b+3c}T^{-3a-2c} = 1 $$
满足这些关系，我们需要：
$$ 2a - b + 3c = 0 $$
$$ -3a - 2c = 0 $$
经过计算，我们得到 $( a = \frac{2}{5} )$, $( b = -1 )$, 和 $( c = -\frac{3}{5} )$，这为我们提供了最终的无量纲组合：
$[ \Pi = \varepsilon^{\frac{2}{5}}k E(k)^{-\frac{3}{5}} ]$
这个组合是无量纲的，因此它是一个常数。进一步得出：
$[ E(k) \propto \varepsilon^{\frac{2}{3}}k^{-\frac{5}{3}} ]$
这就是我们的Kolmogorov $-5/3$定律！
量纲分析为我们提供了一个简单且有力的工具，使我们能够洞察湍流中的能量如何分布。Kolmogorov的$-5/3$定律不仅是湍流理论的一个核心部分，也是使用简单的数学方法揭示物理现象背后复杂性的一个绝佳示范。
关于 Charney 的 “Geostrophic Turbulence”
在1971年的论文中，Charney深入探讨了地转涡旋流动的统计特性。他提出，在地转平衡中，涡旋动能的能量谱是 $k^{−3}$，与Kolmogorov的经典湍流理论中的 $k^{−5/3}$ 法则存在明显的不同。这一差异反映了大气流中地转效应的显著影响。
Charney指出，地转涡旋流动中的这种 $k^{−3}$ 能量分布是由于强大的地转效应，它抑制了三维的湍流涡旋，导致了二维的能量传播模式。相比之下，Kolmogorov的 $k^{−5/3}$ 法则更多地描述了没有强地转效应影响的三维湍流。
总之，Charney通过考虑地转效应来解释了大气流中涡旋能量的分布，而这一解释与Kolmogorov的经典湍流理论存在显著的不同。
海洋运动的波数谱
近年来，海洋动力学领域的研究者们对海洋中的波数谱斜率如何分布存在着持续的争议。尽管卫星高度计的观测技术为我们提供了大量关于波数斜率的数据，但这些数据在空间上存在着显著的差异性。有研究指出，动能谱中的波数应该遵循 $k^{−3}$ 的分布律，其中 $k$表示波数。进一步地，在地转平衡下，海表面高度（SSH）的波数谱则应遵循 $k^{−5}$ 的分布律。
然而，真正的转机即将到来。SWOT（Surface Water and Ocean Topography）成像雷达高度计预计在今年10月发布其首批数据。与现有的观测手段相比，SWOT将提供前所未有的二维高分辨率SSH数据，为我们提供了一个全新的、更加精细的视角来重新评估波数谱的真实特性。
这将是一个巨大的突破，因为重新分析这些高分辨率数据将有望揭示海洋能量分布的更多细节。有了SWOT的数据，我们不仅可以更好地了解海洋的动力学机制，还可以解开许多现有争议，为未来的海洋科学研究打下坚实的基础。